গুনিতক ও গুণনীয়ক কী :
একটি সংখ্যা কে অন্য একটি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে যদি ভাগশেষ না থাকে অর্থাৎ যদি সংখাটি সম্পূর্নরূপে বিভাজ্য হয়, তাহলে দ্বিতীয় সংখ্যাটিকে প্রথম সংখ্যার গুনণীয়ক বা উৎপাদক বলে(20 ÷ 5 = 4, এখানে ৫ হলো ২০ এর গুণনীয়ক )এবং প্রথম সংখ্যাটিকে দ্বিতীয় সংখ্যার গুনিতক বলে। যেমন 5 গুণিতক হল 20 .ল.সা.গু. বা L.C.M কাকে বলে?
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলির মধ্যে যে গুণিতকটি ক্ষুদ্রতম, তাকে প্রদত্ত সংখ্যাগুলির ল.সা.গু. বা লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বলে।সংখ্যার অসংখ্য গুণিতক থাকে । এর মধ্যে আবার কিছু সাধারণ গুণিতক থাকে। যেমন – 4 ও 6 এর গুণিতক গুলো ভালো করে দেখলে দেখা যায় যে, উভয় সংখ্যার গুণিতক গুলির মধ্যে কতগুলি সাধারণ সংখ্যা আছে। যেমন 12, 24,36 ইত্যাদি।এইসব সংখ্যা গুলিকে 4 ও 6 এর সাধারন গুনিতক বলা হয় ( 4X3 = 12, 4X6 = 24, 4X9 = 36,এবং 6X2 = 12, 6X4 = 24, 6X6 = 36) । এরকম সাধারন গুণিতক এর সংখ্যা অসংখ্য। এই সাধারন গুণিতক গুলির মধ্যে 12 হল সবচেয়ে ছোট, তাই 12 কে বলা হয় 4 ও 6 এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুনিতক বা ল.সা.গু।গ.সা.গু. বা H.C.F কাকে বলে?
কয়েকটি সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদকগুলির মধ্যে যেটি গরিষ্ট(বড়ো), তাকে প্রদত্ত সংখ্যাগুলির গ.সা.গু. বা গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বলে।দুটি সংখ্যার একই গুণনীয়ক থাকলে ওই গুনণীয়কটিকে সংখ্যা দুটির সাধারন গুনণীয়ক বলে। যেমন 18 গুনণীয়ক হল 1, 2, 3, 6, 9, ও 18 এবং 30 এর গুননিয়্ক হলো 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, ও 30 । এই গুনণীয়ক গুলির মধ্যে সাধারণ গুণনীয়ক গুলি হলো 1, 2, 3,ও 6 . আর এই সাধারণ গুণনীয়ক গুলির মধ্য সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি হল 6. সুতরাং 18 ও 30 এর মধ্যে সবচেয়ে বড় বা গরিষ্ঠ সাধারন গুনণীয়ক হল 6.গ.সা.গু. ও ল.সা.গু নির্ণয় এর পদ্ধতি
১. লসাগু নির্ণয়ের দুটি পদ্ধতি আছে
1) প্রত্যেক রাশি যৌগিক উৎপাদক বিশ্লেষণ এর দ্বারা ।2) সাধারণ উৎপাদক বিশ্লেষণ এর দ্বারা ।
(অ) উৎপাদক বা গুণনীয়ক পদ্ধতিতে ল.সা.গু. (L.C.M.) নির্ণয়:
উদাহরণস্বরূপ ২৪ ও ৪০ সংখ্যা দুটির মৌলিক উৎপাদক বা গুণনীয়ক বের করি। যেমন-২৪ = ২ X ২ X ২ X ৩
৪০ = ২ X ২ X ২ X ৫
২৪ ও ৪০ এর সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলোর মধ্যে ২ আছে সর্বাধিক তিন বার, ৩ আছে সর্বাধিক এক বার এবং ৫ আছে সর্বাধিক এক বার।
সূতরাং ২৪ ও ৪০ এর লগিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু. হল ২ X ২ X ২ X ৩ X ৫ = ১২০।
(আ) ইউক্লিডীয় পদ্ধতিতে ল.সা.গু. (L.C.M.) নির্ণয়:
উদাহরণস্বরূপ ২৪ ও ৪০ সংখ্যা নিয়ে নিন্মরূপে করি।এখানে, ২৪ ও ৪০ এর লগিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু. হল ২ X ২ X ২ X ৩ X ৫ = ১২০।
২. গ.সা.গু. নির্ণয় এর দুটি পদ্ধতি আছে.
1) যৌগিক উৎপাদক বিশ্লেষণ এর দ্বারা এবং2) ভাগ পদ্ধতির সাহায্যে।
(অ) উৎপাদক বা গুণনীয়ক পদ্ধতিতে গ.সা.গু. (H.C.F.) নির্ণয়:
উদাহরণস্বরূপ ২৪ ও ৪০ সংখ্যা দুটির মৌলিক উৎপাদক বা গুণনীয়ক বের করি। যেমন-
২৪ = ২ X ২ X ২ X ৩
৪০ = ২ X ২ X ২ X ৫
২৪ ও ৪০ এর সাধারণ মৌলিক উৎপাদক বা গুণনীয়ক = ২, ২, ২ এবং
এদের গুণফল ২ X ২ X ২= ৮ ।
সূতরাং ২৪ ও ৪০ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু. = ৮ ।
আবার, ২৪ ও ৪০ সংখ্যা দুটির সকল উৎপাদক বা গুণনীয়ক বের করি। যেমন-
২৪ এর সকল গুণনীয়ক: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ২৪ এবং
৪০ এর সকল গুণনীয়ক: ১, ২, ৪, ৫, ৮, ১০, ২০, ৪০
এখানে, সংখ্যা দুটির সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে ৮ গরিষ্ঠ ।
সূতরাং ২৪ ও ৪০ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু. হল ৮ ।
(আ) প্রচলিত ভাগ পদ্ধতিতে গ.সা.গু. (H.C.F.) নির্ণয়:
উদাহরণস্বরূপ ২৪ ও ৪০ সংখ্যা দুটি থেকে
২৪ দিয়ে ৪০ কে ভাগ করি।
৪০÷২৪ = ২৪X১+১৬; এখানে, ভাগশেষ ১৬।
ভাগশেষ ১৬ দিয়ে ২৪ কে ভাগ করি। ২৪÷১৬ = ১৬X১+৮; এখানে, ভাগশেষ ৮।
ভাগশেষ ৮ দিয়ে ১৬ কে ভাগ করি। ১৬÷৮ = ৮X২+০; এখানে, ভাগশেষ ০।
সর্বশেষ ৮ দিয়ে ভাগ করে নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।
এখানে, সংখ্যা দুটির গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক ৮ ।
গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. এর কয়েকটি সাধারণ সূত্র:
(1) দুটি সংখ্যার গুণফল= সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. ×গ.সা.গু. ।(2) সংখ্যা দুটির ল.সা.গু= সংখ্যা দুটির গুণফল÷ গ.সা.গু.।
(3) সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. = সংখ্যা দুটির গুণফল ÷ ল.সা.গু. ।
(4) একাধিক ভগ্নাংশের ল.সা.গু.= (লবগুলির ল.সা.গু.)÷(হরগুলির গ.সা.গু)
(5) একাধিক ভগ্নাংশের গ.সা.গু.= (লবগুলির গ.সা.গু.)÷(হরগুলির ল.সা.গু)
(6) যে কোন তিনটি সংখ্যা x,y ও z যে বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য সেটি হল x,y ও z -এর গ.সা.গু. ।
উদা: কোন বৃহত্তম সংখ্যার দ্বারা 66, 110 ও 165 বিভাজ্য ?
(7) যে কোন তিনটি সংখ্যা x,y ও z দ্বারা যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিভাজ্য সেটি হল x,y ও z -এর ল.সা.গু. ।
উদা: 8,12 ও 16 দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত ?
(8) যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা, যাকে যে-কোনো তিনটি সংখ্যা x, y এবং z দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় যথাক্রমে a, b এবং c সেটি হল= (x,y ও z-এর লসাগু)-K ,যেখানে K=x-a=y-b=z-c.
উদা: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে 48,72 ও 96 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 42, 66 ও 90 ভাগশেষ থাকবে।
(9) যে বৃহত্তম সংখ্যা যার দ্বারা যে-কোনো তিনটি সংখ্যা x, y এবং z কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ a থাকে , সেটি হল=(x-a),(y-a) ও(z-a) -এর গসাগু।
উদা: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা 303 ও 207 -কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 3 ভাগশেষ থাকবে।
(10) যে বৃহত্তম সংখ্যা যার দ্বারা x, y এবং z তিনটি সংখ্যা ভাগ করলে যথাক্রমে a, b ও c ভাগশেষ থাকে, সেটি হল=(x-a),(y-b) ও (z-c) এর গসাগু।
উদা: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা 320 ও 437-কে ভাগ করলে যথাক্রমে 5 ও 2 ভাগশেষ থাকবে।
(11) যে বৃহত্তম সংখ্যা যার দ্বারা a, b ও c -কে ভাগ করলে একই ভাগশেষ থাকবে, সেটি হল=(b-a) ও (c-b) -এর গসাগু।
উদা: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা 123, 178 ও 244-কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকবে।